LaTeX教程——数学公式篇

因为数学公式的写法是LaTeX非常重要的一部分内容，而且相对比较独立，因此将这部分单独整理为一篇博客，也方便日后进行查阅。

基本概念

行内公式与行间公式

行内公式：两个美元符号扩起来 $ 公式 $ ，或者$ 公式 $
行间公式：
- 不带编号的写法：两对美元符号扩起来$$ 公式 $$，或者\[ 公式 \]
- 带自动编号的写法：\begin{equation} 公式 \end{equation}。

amsmath宏包

LaTeX排版数学公式最常用的即为amsmath宏包，其是由美国数学学会AMS(American mathematical society)设计开发的。
若无特别说明，下文中的所有介绍都是基于amsmath宏包的。
一般常用的数学宏包：\usepackage{amsmath, amssymb, mathtools}

数学模式

数学模式中空格会被忽略（也不能输入单独的空行），也不能直接输入汉字，若要输入汉字需要使用\text命令，如 $a+b=3 \text{加法}$ 。
因为空格不显示，所以多个公式字母排列时，每个都需要加入数学模式，如$a$, $b$, $c$, $d$。

在markdown中使用LaTex公式

导入MathJax引擎, 在文章的任意地方加入以下代码即可：
<script src='https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.4/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML' async></script>
使用LaTex语法写公式。

注1：MathJax引擎本质是一个js脚本，把页面中的LaTex代码翻译成数学公式。
注2：工作流程：Markdown先把代码按Markdown语法翻译一遍，因此一些\和特殊字符的组合，要对反斜杠进行转义，如\\{；之后再由js脚本对翻译为数学公式。
注3：这个脚本只能识别$ 公式 $形式的行内公式，且需要写成\$ 公式 \$形式。因为markdown中\也是转义符，因此需要两个斜杠\\来表达反斜杠的本身含义。
注4：markdown中使用LaTex，若使用了A_{xxx}这种复合下标(下划线和花括号连用)，且前面的公式还出现了下划线，公式就会出错。
原因：markdown将两个下划线作为斜体符号进行了翻译，公式就无法正常解析了。
解决：在两个下划线前分别加反斜杠，\_，对下划线进行转义。

数学公式结构

在这一节中介绍一些数学公式的常用结构，这些结构构成了数学公式的整体骨架，而如何填充这些骨架（使用各种数学符号）则会在下一节中介绍。

上标和下标

^表示上标，_表示下标，默认将这两个符号后的第一个字母作为上/下标，如果上下标有多个字母，则要用{}括起来。
如：z_{i+2} = x^{k+2}+y_2
$$z_{i+2} = x^{k+2}+y_2$$
上下标同时出现时，先后次序并不重要，二者不互相影响。

上划线与花括号

短上划线：\bar{A}，$\bar{A}$，通常用于大写字母的上划线（用\overline会很长）。
上划线：\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}, $\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}$
上箭头：\overrightarrow{AB}, $\overrightarrow{AB}$
上、下花括号：\overbrace{a_0, a_1, \dots, a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}}, $\overbrace{a_0, a_1, \dots, a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}}$，可通过上标来作标注。
下花括号：\underbrace{}

矩阵

各种矩阵形式

amsmath提供了一系列矩阵命令，对应于矩阵相关的各种表现形式，如下所示：

$各种矩阵形式$

矩阵中不同的列使用&分隔，不同的行使用\\分隔
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$

$$
\begin{pmatrix}
  1 & 2 & 3 \\
  4 & 5 & 6 \\
  7 & 8 & 9
\end{pmatrix} 
$$

若把矩阵放在行内公式中，正常的矩阵会显得很大，这时可以用\smallmatrix环境，只是其不在矩阵外面加括号，需要手动加上。示例：

$行内矩阵$

矩阵中的省略号

矩阵中常用的省略号有：\cdots横向点，\vdots竖向点，\ddtots斜向点。

示例
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
& \ddots & \vdots \\
0 & & a_{nn}
\end{pmatrix}_{n\times n}
$$

$$
\begin{pmatrix}
  a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
  & \ddots & \vdots \\
  0 & & a_{nn}
\end{pmatrix}_{n\times n}
$$

分块矩阵

需要用到横线来分隔矩阵的各个部分，使用array环境，参考刘海洋书5.1节。

数学符号

数学公式中符号可大致分为五大类：字母符号、数学算子、二元运算符与关系符、括号与定界符、标点。下面来分别介绍：

字母符号

字母是数学公式中的最基本内容，可以输入的有拉丁字母（$A、B、c、d$等）和希腊字母($\alpha, \beta, \Delta, \Theta$)等。
希腊字母直接用\字母名即可，如\alpha为$\alpha$，\beta为$\beta$，\theta为$\theta$
公式中的字母默认是斜体显示，但一些常量规定用直立罗马体显示，命令为\mathrm{}。
包括：圆周率pi，自然对数的底 e，微分符号 d，虚数单位 i
可定义新命令来简化公式：\newcommand{\mpi}{mathrm{\pi}}
空集：\varnothing $\varnothing$
大写字母的黑板粗体显示：$\mathbb{R}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{X}$
使用amssymb宏包，命令为\mathbb{R}。
希伯来字母：\aleph：$\aleph$
附：希腊字母表

数学算子

数学算子按显示形式，大致可以分为两类，一类为大小会随着行间公式&行内公式而改变的，称为巨算子（large operator），如求和$\sum$、积分$\int$；一类则是普通的数学算子。

积分符号

因为积分符号有较多的格式要求，因此单独拿出来说。

积分号要求正体显示
积分号前与被积函数要留一定间隔，通过\,来实现
单个积分符号上下限放角标位置（默认格式），多重积分有时则需要放在上下限的位置（\limits命令设置）
1
2
3
\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}
\int_a^b f(x) \, \diff x % 单个积分
\iint_\limits{0<x,y<1}f(x,y) \, \diff x \diff y % 多重积分

$$
\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}
\int_a^b f(x) \, \diff x \\
\iint_\limits{0<x,y<1}f(x,y) \, \diff x \diff y
$$

一些文字名称的算子

通常为各种函数名，这类算子也需要正体显示。

自定义算子

在概率论中，期望E()、方差Var()函数需要正体显示为算子，但默认没有定义，这里我们可以单独将其进行定义。
\DeclareMathOperator定义不带上下限的算子，\DeclareMathOperator*定义带上下限的算子。

1
2
3

% 导言区定义
\DeclareMathOperator{\var}{Var}
\DeclareMathOperator{\E}{E}

二元运算符与关系符

常用二元运算符：

可直接从键盘输入的二元运算符有：+ - * / = > < :，其他常用运算符

名称	公式	效果
乘	`\times`（叉乘）或`\cdot`（点乘）	$a\times b$, $a\cdot b$
除	`\div`或`/`	$a\div b$, $a/b$
小于等于	`\leq`	$a \leq b$
大于等于	`\geq`	$a \geq b$
属于/不属于	`\in` `\notin`	$a \in S$
包含于/真包含于	`\subset` `\subseteq`	$A \subset B$

括号与定界符

LaTeX中常用括号如下：

名称	公式	效果
圆括号()	`( )`	$a)$
方括号[]	`[ ]`	$[a]$
花括号	`\{ \}`	$\{a\}$

竖线 | ：可以直接使用|，也可以使用\lvert a \rvert组合表示，$\lvert a \rvert$
双竖线：表示范数，\lVert a \rVert，$\lVert a \rVert$
可以定义新的命令来简化表示
1
2
3
4
$$
\newcommand{\abs[1]}{\lvert #1 \rvert} % 导言区定义
\abs{x+y} \le \abs{x} + \abs{y}
$$
定界符
定界符（delimeter）意思是标识内容起始、终止的符号，在LaTeX中各种括号以及竖线|都是定界符
定界符的一个特性是其大小可随着所标识内容的大小而改变。
大小可变的定界符：
使用\left和\right命令可使得定界符按中间内容的大小来改变，命令格式为\left open-delimeter 内容 \right end-delimeter。
两边的定界符无需保持一致，eg. 可以一边是(另一边是]表示半开半闭区间。
但\left和\right必须成对出现，如果只有一边需要定界符（如左边），可用\right .（在右边加句号）表示空的定界符。
1
2
3
$$
\left. \int_0^xf(t) \, \mathrm{d}t \right \vert_{x=1}
$$

$$
\left. \int_0^xf(t) \, \mathrm{d}t \right \vert_{x=1}
$$

此外还可通过\middle命令来为\left、\right的中间加入一个可变大小的定界符。

标点符号

常用标点符号

公式中常用的标点符号如下，都可以通过英文键盘直接输入

省略号

省略号类型	命令	效果
通用省略号	`\dots`	$\dots$
横向、圆点在底部	`\ldots`	$1,2,\dots ,n$
横向、圆点在中间	`\cdots`	$1+2+\cdots +n$
纵向圆点	`\vdots`	$\vdots$
斜向圆点	`\ddots`	$\ddots$

\ldots位置较低，多用于逗号之间，如$1,2,\dots ,n$
\cdots位置较高，用于运算符之间，如$1+2+\cdots +n$
大体原则是省略号与前后符号高度一致，使用amsmath，可使用\dots命令，其可自动根据周围来调整省略号高度，使用正确的省略号。

其他符号总结

名称	LaTex语法	示例
分数	`\frac {a} {b}`	$\frac {a} {b}$
求导符号	即为单引号`'`	$a_0’=a_0’’$
平方根	`\sqrt{a*x+b}`	$\sqrt{a*x+b}$
n次方根	`\sqrt[n]{a*x+b}`	$\sqrt[n]{a*x+b}$
极限	`\lim_{n \rightarrow 0} (\sin{x} / x)`	$\lim_{n \rightarrow 0} (\sin{x} / x)$
求和	`\sum_{i=0}^n i`	$\sum_{i=0}^n i$
求积/连乘	`\prod_{i=0}^n i`	$\prod_{i=0}^n i$
偏微分算子	`\partial`	$\partial$
梯度算子	`\nabla`	$\nabla$
Laplace算子	`\Delta`	$\Delta$
向量符号	`\vec{a}`	$\vec{a}$
二项式系数	`\binom nk`	$\binom nk$
角度符号	`^{\circ}`	$90^{\circ}$
加帽	`\hat a`	$\hat a$（a帽）

求和、连乘符号的多行下标显示：
1
\sum_{\substack{0<i<10 \\ 10<j<15}} A_{ij}

多行公式

对于行间公式$$ xxx $$，空格会被忽略，也不允许出现单独的空行，换行符\\也不起作用，因此如果要输入多行公式的话必须使用其他的环境。

罗列多个公式

最常用的情形即将多个公式摆在一起，因为正常公式中不能换行，因此可使用begin{align}环境，在align环境中允许通过换行符\\来进行换行。
align环境本身就是数学环境（类似equation环境），表示行间公式，因此外面就不能再重复写$$ $$了。
align环境中各公式默认居中对齐，但也使用&符号进行分组对齐。
\notag命令使得该行公式不进行编号，适合连等公式的情形（只有最后一行公式需要编号）。

公式举例

&符号一般放在等号=前面，来保证正确的对齐间距
$$
\begin{align}
x &= t + \cos t +1 \\
y &= 2\sin t
\end{align}
$$
1
2
3
4
\begin{align}
x &= t + \cos t +1 \\
y &= 2\sin t
\end{align}
如何在不影响公式对齐的情况下插入文字：mathtools宏包的 \shortintertext命令

\begin{align}
  x^2+2x &= -1 \\
  \shortintertext{移项得}
  x^2+2x+1 &= 0
\end{align}

如何排版连等公式：使用空分组来使空白处对齐
注：连等公式只需要一个标号即可。

\begin{align}
  x &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \notag \\ 
    &= a^3-a^2b+ab^2+a^2-ab^2+b^3 \\ % 只在这一行进行公式编号
    &= a^3+b^3 \notag
\end{align}

如何进行子公式编号：\begin{subequations}环境
subequations环境中的子公式会共用一个数字主编号，里面再使用字母进行子公式编号。
subequations环境中的主公式和子公式都可进行label设定标签。

\begin{subequations}
\begin{align}
  x &= t + \cos t +1 \\ 
  y &= 2\sin t \\
  z &= 6\cos t
\end{align}
\end{subequations}

align环境中&的对齐方式

假设有n个&，会将一行分为n+1列，从左向右两个列分为一组(如1、2列为一组，3、4列为一组…，若有奇数列，则最后一列单独为一组)。每一行的&数量要保证相同，否则对齐格式会乱。
首先明确，LaTex对齐方式包括组内对齐和组间对齐。
- 组内对齐：两列一组，在组内部，第一列向右对齐，第二列向左对齐，即两列在所在位置上向中间对齐。
- 组间对齐：首先，不同行的对应组会根据组的中线进行对齐，因为每行组数是一样的，因此为保证组的中线在同一位置，会统一固定组的长度，因此若公式较短就会出现空白。
其次在中线对齐的基础上，第一组会紧靠页左侧，最后一组则紧靠页右侧，紧靠页左/右侧就是将最长的一组紧靠上去，也就是说对于长度不一样的行，较短的那一行是靠不上去的(因为首先要保证组的中线对齐)。

如何组合多个公式

有时我们需要将多个公式组合为一个大公式块，然后对整个公式块进行一定的操作，这时就不能使用换行公式的写法了（因为align本身就是数学环境了，其外不能再嵌套一层数学环境）。

分段函数（条件函数）的表示

对于分段函数，可使用cases环境和mathtools宏包提供的dcases环境，推荐使用后者，公式的字号会更小一点，显得更紧凑。
dcases的效果是将多个子公式合成一个大公式块，公式中使用&分隔值和后面的操作，最后再在公式块前加上花括号。
示例
$$
f(x)=
\begin{cases}
x^2+3, & x<3 \\
x^3+2, & x\geq3
\end{cases}
$$

% \usepackage{mathtools}
$$
f(x)=
\begin{dcases}
  x^2+3, & x<3 \\\\
  x^3+2, & x\geq3
\end{dcases}
$$

更一般的公式块组合

dcases环境毕竟非常特殊，只适用于分段函数的情形，下面介绍aligned环境，其是一种更一般的公式组合方式。
aligned是align环境的变体，使用方式基本一样，只是因为其本身不是数学环境，只是用来组合多个子公式的，因此可以在行间公式环境中使用。
多个子公式组合后就相当于是一个公式了，可以被当作一个公式来对待。

示例

$$
\begin{aligned}
  x+y+z &= 10 \\
  x+y &= -1
\end{aligned}
\implies
\begin{aligned}
  xy &= 2 \\
  z &= 3
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
x+y+z &= 10 \\
x+y &= -1
\end{aligned}
\implies
\begin{aligned}
xy &= 2 \\
z &= 3
\end{aligned}
$$

Post Date： 2018-01-19

名称	公式	效果
乘	`\times`（叉乘）或`\cdot`（点乘）	\(a\times b\), \(a\cdot b\)
除	`\div`或`/`	\(a\div b\), \(a/b\)
小于等于	`\leq`	\(a \leq b\)
大于等于	`\geq`	\(a \geq b\)
属于/不属于	`\in` `\notin`	\(a \in S\)
包含于/真包含于	`\subset` `\subseteq`	\(A \subset B\)

名称	公式	效果
圆括号()	`( )`	\(a)\)
方括号[]	`[ ]`	\([a]\)
花括号	`\{ \}`	\(\{a\}\)

省略号类型	命令	效果
通用省略号	`\dots`	\(\dots\)
横向、圆点在底部	`\ldots`	\(1,2,\dots ,n\)
横向、圆点在中间	`\cdots`	\(1+2+\cdots +n\)
纵向圆点	`\vdots`	\(\vdots\)
斜向圆点	`\ddots`	\(\ddots\)

名称	LaTex语法	示例
分数	`\frac {a} {b}`	\(\frac {a} {b}\)
求导符号	即为单引号`'`	\(a_0’=a_0’’\)
平方根	`\sqrt{a*x+b}`	\(\sqrt{a*x+b}\)
n次方根	`\sqrt[n]{a*x+b}`	\(\sqrt[n]{a*x+b}\)
极限	`\lim_{n \rightarrow 0} (\sin{x} / x)`	\(\lim_{n \rightarrow 0} (\sin{x} / x)\)
求和	`\sum_{i=0}^n i`	\(\sum_{i=0}^n i\)
求积/连乘	`\prod_{i=0}^n i`	\(\prod_{i=0}^n i\)
偏微分算子	`\partial`	\(\partial\)
梯度算子	`\nabla`	\(\nabla\)
Laplace算子	`\Delta`	\(\Delta\)
向量符号	`\vec{a}`	\(\vec{a}\)
二项式系数	`\binom nk`	\(\binom nk\)
角度符号	`^{\circ}`	\(90^{\circ}\)
加帽	`\hat a`	\(\hat a\)（a帽）